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在同程旅游上购买机票并勾选报销乘客开发票的步骤如下：

1. 进入同程旅游官网，在首页“我的订单”输入订单号或航班号，找到需要开发票的订单并点击进入。

2. 找到“发票信息”并点击进入，在发票信息页面，选择“开具发票抬头”。

3. 根据自己的需求选择开具的发票类型，如个人或单位。

4. 按照要求填写发票抬头和纳税人识别号等信息。

5. 确认信息无误后，点击“提交审核”按钮，审核通过后，会在订单详情页面生成电子发票。

以上步骤适用于在同程旅游上购买机票并需要开发票的情形。请注意，具体的操作步骤可能会根据软件版本更新而有所变化，最好参考同程旅游的官方帮助文档。